Петя и Вася играют в игру. У них есть полоска из 9 клеток. каждым ходом игрок вписывает...

Question

Петя и Вася играют в игру. У них есть полоска из 9 клеток. каждым ходом игрок вписывает любую цифру в любую свободную клетку. Ходят по очереди, начинает Петя. Если в конце игры полученное число окажется точным квадратом. то выигрывает Петя, иначе Вася. При этом они считают, что число может начинаться с одного или нескольких нулей. у кого из игроков есть выигрышная стратегия?

Answer 1

Начинает игру Петя, он может поставить любую цифру в любую клетку. Однако для выигрыша Петя должен в последнюю клетку вписать одну из цифр: 0, 1, 4, 5, 6, или 9, т.к. на эти цифры может оканчивать квадрат числа. Но и вторая цифра в квадрате не абы какая, а тоже м.б. определённой, что зависит от последней цифры.
Если последняя цифра:
- 0, то Васе достаточно в предпоследнюю клетку вписать любую цифру, отличную от нуля.
- 1, 4, 9, то Васе достаточно в предпоследнюю клетку вписать любую нечётную цифру.
- 5, любую цифру, кроме двойки в предпоследнюю клетку.
- 6, любую чётную цифру в предпоследнюю клетку.
Точно также, если Петя начнёт с предпоследней клетки, то у Васи всегда есть вариант, чтобы квадрат не получился.
Отсюда стратегия Васи - первым своим ходом, после Пети разумеется, вписать такую цифру в последнюю или предпоследнюю клетку, чтобы квадрат не получился.
Поэтому при правильной игре Вася всегда выигрывает, а Петя проигрывает.