В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AB проведены биссектриса CL, медиана CM,...

Question

В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AB проведены биссектриса CL, медиана CM, высота CN. Найдите площадь треугольника CLN, если площадь треугольника CNM равна 10, а CN:CM=2:3.

Answer 1

Так как СM медиана, то MC=MA или a=BAC=MCA, так как CL биссектриса прямого угла то MCL=a-45, также LCN=45-(90-a)=a-45, то есть CL биссектриса угла MCN. S-площадь треугольника, по свойству биссектрисы и условию получаем CN/CM =  LN/LM  = S(СNL)/S(CLM) = 2/3 
S(CLN)=a, S(CLM)=b , получаем систему уравнений
 {a/b=2/3
 {a+b=10   
 
 {a=2b/3
 {2b/3+b=10 
 
 {a=2b/3 
 {5b=30 
 
 {b=6 
 {a=4 
 
 Ответ S(CLN)=4