Решить дробно-рациональное уравнение

$\displaystyle\mathtt{\frac{2x-1}{x+3}+\frac{x}{x+1}=\frac{3x}{x+4};~1+\frac{x-4}{x+3}+1-\frac{1}{x+1}=2+\frac{x-8}{x+4};~}\\\\\\\mathtt{\frac{x-4}{x+3}-\frac{1}{x+1}-\frac{x-8}{x+4}=0;~}\\\\\\\mathtt{\frac{(x-4)(x+4)(x+1)-(x+4)(x+3)-(x-8)(x+3)(x+1)}{(x+4)(x+3)(x+1)}=0}$

итак, наше уравнение эквивалентно данной системе:

$\displaystyle\mathtt{\left\{{{(x-4)(x+4)(x+1)-(x+4)(x+3)-(x-8)(x+3)(x+1)=0}}\atop{x\neq-4;~-3;~-1}}\right}$

решим первое уравнение системы, а затем исключим из ответа ложные корни, если таковые будут

$\mathtt{(x-4)(x+4)(x+1)-(x+4)(x+3)-(x-8)(x+3)(x+1)=0;~}\\\mathtt{x^3+x^2-16x-16-x^2-7x-12-x^3+4x^2+29x+24=0;~}\\\mathtt{4x^2+6x-4=(x+2)(4x-2)=0}$

следовательно, $\mathtt{\left[\begin{array}{ccc}\mathtt{x_1=-2}\\\mathtt{x_2=\frac{1}{2}}\end{array}\right}$ — оба корня не противоречат области допустимых значений уравнения, поэтому являются окончательным ответом

ОТВЕТ: $\mathtt{x=-2;~\frac{1}{2}}$