Найти все значения а, при которых система имеет единственное решение x^2+y^2=z x+y-z=a

Question

Найти все значения а, при которых система имеет единственное решение
x^2+y^2=z
x+y-z=a

Answer 1

Перенося z=x²+y² во второе уравнение, приходим к уравнению x-x²+y-y²=a, или x²-x+y²-y+a=0. Выделяя полные квадраты, приходим к уравнению (x-1/2)²+(y-1/2)²+a-1/2=0, или (x-1/2)²+(y-1/2)²=1/2-a. Это уравнение имеет единственное решение при 1/2-a=0, т.е. при a=1/2. При этом x-1/2=0 и y-1/2=0, т.е. x=1/2 и y=1/2, a z=1/2. Ответ: при a=1/2.