Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Найдем абсциссы точек пересечения заданных линий:

$\left \{ {{y=2x^2+6x-1} \atop {y=-x^2+x+1}} \right.\\2x^2+6x-1=-x^2+x+1\\3x^2+5x-2=0\\ \left \{ {{x_1=-2} \atop {x_2= \frac{1}{3} }} \right.\\$

$x_1,x_2$ - пределы интегрирования. (на рисунке изображены как "a" и "b".

$S= \int\limits^ {\frac{1}{3}}_{-2} ({-x^2+x+1-(2x^2+6x-1)}) \, dx= \int\limits^ {\frac{1}{3}}_{-2} {-3x^2-5x+2} \, dx=\\=\int\limits^ {\frac{1}{3}}_{-2} {-3x^2 \, dx-\int\limits^ {\frac{1}{3}}_{-2} {5x} \, dx+\int\limits^ {\frac{1}{3}}_{-2} {2} \, dx=- \frac{3x^3}{3} |^{ \frac{1}{3}}_{-2} - \frac{5x^2}{2} |^{ \frac{1}{3}}_{-2} + 2x \|^{ \frac{1}{3}}_{-2}=\\$
$= \frac{-6x^3-15x^2+12x}{6}\ |^{ \frac{1}{3}}_{-2}= -\frac{x}{2}(2x^2+5x-4)\ |^{ \frac{1}{3}}_{-2}= -\frac{1}{6}( \frac{2}{9}+\frac{5}{3}-4)-\\-(- (-\frac{2}{2})(8-10-4))= \ \frac{19}{54}+\frac{324}{54}= \frac{343}{54}=6\frac{19}{54}$