Окружности с центрами О1 и О2 касаются в точке А внешним образом. Прямая проходящая через...

Question

Окружности с центрами О1 и О2 касаются в точке А внешним образом. Прямая проходящая через точку А вторично пересекает первую окружность в точке В, а вторую в точке С. Докажите, что прямая О2С параллельна прямой О1В и найдите площадь треугольника ВСО2, если известно, что радиуса первой и второй окружностей равны 5 и 8 соответственно, а угол АВО1=15°

Answer 1

Точка A может быть точкой касания только в одном случае, если она лежит на прямой O1O2
Т.к. прямая пересекает точку A, то угол O1AB=O2AC.
Т.к треугольник AO1B - равнобедренный, то угол O1BA=O1AB.
Т.к треугольник AO2С- равнобедренный, то угол O2CA=O2AC.
Т.к. при пересечении прямой BC прямых O1B и O2C углы O1BA и O2CA равны, то прямые O1B и O2C параллельны.

Найдем основание. AB в треугольнике AO1B
AB=2*5*cos15=10cos15
Т.к. угол ACO2=ABO1=15 найдем основание AC в треугольникн ACO2
AC=2*8*cos15=16cos15
Высота тругольников ACO2 и BCO2 будет общая и равна 8*sin15

S=1/2*8sin15*(10cos15+16cos15)=104*sin15*cos15=52*sin(2*15)=52/2=26