Я не понимаю в чём проблема дан ответ, что по итогу получается -2/3 итак, что я делаю не...

Неопределенность типа $\frac{0}{0}$ , Применяем правило Бернулли-Лопиталя
$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1-x}- \sqrt[3]{1+x} }{x} = \\ = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt[3]{1-x}- \sqrt[3]{1+x})' }{x'} = \\ = \lim_{x \to 0} \frac{ ( \sqrt[3]{1-x}- \sqrt[3]{1+x})' }{1} = \\ = \lim_{x \to 0} ( \sqrt[3]{1-x}- \sqrt[3]{1+x})'= (*)\\ (\sqrt[3]{1-x})'= \frac{1}{3}(1-x)^{-\frac{2}{3}} (1-x)'= - \frac{1}{3(1-x)^{ \frac{2}{3}} } \\ (\sqrt[3]{1+x})'= \frac{1}{3}(1+x)^{-\frac{2}{3}}= \frac{1}{3(1+x)^{ \frac{2}{3}} } \\$
Подставляя производные получим:
$(*)=\lim_{n \to \infty} (- \frac{1}{3(1-x)^{ \frac{2}{3}} }- \frac{1}{3(1+x)^{ \frac{2}{3}} })= -\frac{1}{3}- \frac{1}{3}=- \frac{2}{3}$

или делаем как пытались сделать Вы, домножаем до разности кубов на
$(1-x)^{ \frac{2}{3}}+ (1-x)^{ \frac{1}{3}}(1+x)^{ \frac{1}{3}}+(1+x)^{ \frac{2}{3}}= \\ = \sqrt[3]{(1-x)^{2}} + \sqrt[3]{1-x^{2}}+\sqrt[3]{(1+x)^{2}}$
В числителе останется ТОЛЬКО ПЕРВАЯ скобка, а в знаменателе
$x*(\sqrt[3]{(1-x)^{2}} + \sqrt[3]{1-x^{2}}+\sqrt[3]{(1+x)^{2}})$
х - сократится, в числителе -2, знаменатель →(1+1+1)=3