Уверен, что есть решение проще :)
Но это все-таки решение. У Пети есть выигрышная стратегия. Достаточно очевидно, что Петя должен первым ходом проставить как минимум 2 последних цифры, так как квадрат числа может оканчиваться только на 0,1,4,5,6,9, а для каждой из этих последних цифр существует предпоследняя цифра, на которую квадрат числа оканчиваться не может.
Покажем, что если первым ходом Петя проставит в последние 3 клетки цифры 025, а также 0 в первые 4 клетки (то есть, максимальное количество знаков в числе - 6), он сможет выиграть не зависимо от хода Васи.
1) Рассмотрим случаи, когда Вася ставит цифру в 5-ю клетку (то есть, получается 6-значное число):
Для 0 решение очевидно: вторым ходом ставим все 0: 000025
для 1: 405^2=164025
2: 455^2=207025
3: 605^2=366025
4: 655^2=429025
5: 755^2=570025
6: 805^2=648025
7: 855^2=731025
8: 905^2=819025
9: 955^2=912025
2) Если Вася ставит цифру на 6-ое место:
для 0,1,2,3,4,6,7 примеры можно взять выше (там встречаются числа с соответствующей цифрой на 6-ом месте (или 5-ом с конца)).
Для 5: 255^2=65025
Для 8: 295^2=87025
Для 9: 305^2=93025
3) Если Вася ставит цифру на 7-ое место, то для всех цифр есть примеры выше.