Найдите наибольшее значение выражения: (√sin^2 4a + 4 sin 4a + 4) + 4

$\sqrt{sin^2(4a)+4sin(4a)+4}+4=\\\\ =\sqrt{[sin(4a)]^2+2*sin(4a)*2+2^2}+4=\\\\ =\sqrt{[sin(4a)+2]^2}+4=\\\\ =|sin(4a)+2|+4=\\\\ =sin(4a)+2+4=\\\\ =sin(4a)+6$

модуль снят с плюсом:
$-1 \leq sin(4a) \leq 1\\\\ -1+2 \leq sin(4a)+2 \leq 1+2\\\\ 1 \leq sin(4a)+2 \leq 3\\\\$ , потому как значение выражения $sin(4a) +2$ положительно при любом значении $a$

в итоге: $-1+6 \leq sin(4a)+6 \leq 1+6\\\\ 5 \leq sin(4a)+6 \leq 7$
наибольшее значение, которое спрашиваеться в задаче равно $7$

Ответ: $7$