Решите неравенство, пожалуйста

0 голосов
47 просмотров

Решите неравенство, пожалуйста


image

Алгебра (19 баллов) | 47 просмотров
0

а по-русски не объяснить?

0

А сейчас?

0

о, так это ж изи, жди

Дан 1 ответ
0 голосов
\mathtt{1+\frac{4}{\log_5x-2}+\frac{3}{\log_5^2x-\log_5(5x^4)+5}\geq0}

начнём, пожалуй, с самого простого и интересного – области допустимых значений: \displaystyle\mathtt{\left\{{{\log_5x-2\neq0}\atop{\log_5^2x-\log_5(5x^4)+5\neq0}}\right}

решим по отдельности каждое из уравнений системы, чтобы не мучиться с оформлением. 

\mathtt{\log_5x-2\neq0,~\to~x\neq25}

\mathtt{\log_5^2x-\log_5(5x^4)+5=\log_5^2x-(\log_55+\log_5x^4)+5=}\\\mathtt{\log_5^2x-4\log_5|x|+4=(\log_5x-2)^2\neq0,~\to~x\neq25}

итак, решаем неравенство, учтя разложение на множители знаменателя второй дроби: \mathtt{1+\frac{4}{\log_5x-2}+\frac{3}{(\log_5x-2)^2}\geq0}

произведя замену \mathtt{\log_5x-2=a} (где переменная отлична от нуля, разумеется), получим следующее неравенство: \mathtt{1+\frac{4}{a}+\frac{3}{a^2}\geq0}

решаем неравенство относительно новой переменной: 

\mathtt{\frac{a^2+4a+3}{a^2}\geq0;~\frac{(a+3)(a+1)}{a^2}\geq0,~\to~a\in(\infty;-3]U[-1;0)U(0;+\infty)}

произведя обратную замену, получаем, что: 

\displaystyle\mathtt{\left\{{{\left[\begin{array}{ccc}\mathtt{\log_5x-2\leq-3}\\\mathtt{-1\leq \log_5x-2\ \textless \ 0}\\\mathtt{\log_5x-2\ \textgreater \ 0}\end{array}\right}\atop{\left\{{{x\ \textgreater \ 0}\atop{x\neq25}}\right}}\right}

решим отдельно совокупность неравенств, а затем пересечём их решения с ОДЗ: 

\mathtt{\left[\begin{array}{ccc}\mathtt{\log_5x\leq-1}\\\mathtt{1\leq\log_5x\ \textless \ 2}\\\mathtt{\log_5x\ \textgreater \ 2}\end{array}\right\left[\begin{array}{ccc}\mathtt{\log_5x\leq\log_5\frac{1}{5}}\\\mathtt{\log_55\leq\log_5x\ \textless \ \log_525}\\\mathtt{\log_5x\ \textgreater \ \log_525}\end{array}\right\left[\begin{array}{ccc}\mathtt{x\leq\frac{1}{5}}\\\mathtt{5\leq x\ \textless \ 25}\\\mathtt{x\ \textgreater \ 25}\end{array}\right}

ОТВЕТ: \mathtt{x\in(0;\frac{1}{5}]U[5;25]U(25;+\infty)}
(23.5k баллов)