Решить неопределенный интеграл Объяснить как внесли корень из икс под знак дифференциала!...

Рассмотрите такой вариант:
в данном интеграле подводить под знак дифференциала можно дважды: сначала 1/√х, затем выражение 1/(1+х). Первое подведение [dx/√x=2d(√x)], о котором вопрос, алгебраически можно описать так (все обозначения условны, используются для пояснения):
$[ \frac{dx}{ \sqrt{x}}= 2d( \sqrt{x})] \ d( \sqrt{x})=( \sqrt{x})'= \frac{1}{2 \sqrt{x}}; \ \frac{1}{2 \sqrt{x}}=2d( \sqrt{x}).$
Проще говоря, подведение под знак дифференциала - операция взятия производной, при условии, что будет домножение на коэффициент в целях сохранения равенства.
Таким образом, выложенный интеграл решится примерно так:
$2 \int\ { \frac{arctg \sqrt{x} \ d \sqrt{x}}{1+x}} =2 \int\ {arctg \sqrt{x} \ d(arctg \sqrt{x})}=arctg^2 \sqrt{x}+C.$