ОЧЕНЬ СРОЧНО ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА РЕШИТЬ ЗАДАЧУ ПО ГЕОМЕТРИИ!!!!!!!!!!!!! В выпуклом...

Question

ОЧЕНЬ СРОЧНО ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА РЕШИТЬ ЗАДАЧУ ПО ГЕОМЕТРИИ!!!!!!!!!!!!!

В выпуклом четырехугольнике ABCD отмечены точки K, L, M и N - середины сторон AD, AB, BC и CD соответственно. Найдите отношение площади четырехугольника ABCD к площади четырехугольника KLMN

Answer 1

Рассмотрим треугольник АВС. В нем LM - средняя линяя, поэтому S(BLM) = S(ABC)/4 (треугольники АВС и BLM подобны, стороны BLM в 2 раза меньше, значит площадь меньше в 4 раза). Точно так же S(KND) = S(ACD)/4;

Поэтому S(BLM)+ S(KND) = S(AВCD)/4;

Точно так же доказывается что

S(LКА)+ S(МNС) = S(AВCD)/4;

Поэтому 

S(BLM) + S(KND) + S(LКА) + S(МNС) = S(AВCD)/2;

Ну, вторая половина остается на долю KLMN :)))

 

Далее - не принимать всерьез!!!!!

Есть и очень красивое "конвертное" доказательство - если перегнуть все треугольники по средним линиям, как конверт, то они сложатся в такой же параллелограмм:)))) Это уже все решает :)))) (На самом деле это враньё - это работает только для прямоугольников, но для проверки ответа - вполне годится :)))

Кстати, понятно, что KLMN - всегда параллелограмм? :))) для любого выпуклого АВCD.

Answer 2

При решении использован признак подобия треугольников, отношение площадей подобных треугольников.

---