1. Построение.
Линия пересечения секущей плоскости и плоскости основания - прямая MN║АС - ао условию. Продлим эту прямую до пересечения с продолжением ребер ВА и ВС в точках Т и S соответственно.
Тогда прямые B1S и B1T - это линии пересечения секущей плоскости и плоскостей, содержащих грани ВВ1С1С и АА1В1В соответственно, а точки Р и Q - точки пересечения секущей плоскости и ребер АА1 и СС1
соответственно. Пятиугольник MNPB1Q - искомое сечение.
Площадь этого сечения равна сумме плоскостей треугольника QB1P и равнобедренной трапеции QPNM.
QP=AC=2, так как ребро куба равно √2, а АС - диагональ основания.
MN - средняя линия треугольника АСD м равна 0,5*АС=1.
ВК=ВО+ОК = (1/2)*BD+(1/4)*BD (BD=AC=2 -диагонали квадрата).
ВК=(3/4)*2=3/2. В1К=√(ВВ1²+ВК²)=√(2+9/4)=√17/2.
Треугольники ВВ1К и ORK подобны с коэффициентом подобия
k=ВК/КО=(√17/2):(1/2)=√17.
KB1/KR=√17, KR=(√17/2):√17=1/2.
B1R=B1K-KR=√17/2-1/2=(√17-1)/2.
Sqb1p=(1/2)*QP*B1R = (√17-1)/2 ≈1,56 ед².
Smqpn=(QP+MN)*KR/2=3*(1/2)/2=3/4 = 0,75 ед².
Sсеч = (2(√17-1)+3)/4≈ 2,31 ед².
2. Для правильного шестиугольника радиус вписанной окружности равен (√3/2)*a, где "а" - сторона шестиугольника. Эта окружность является описанной вокруг треугольника МРК окружностью.
То есть R= (√3/2)*32√3=48.
Для правильного треугольника радиус вписанной окружности равен половине радиуса описанной окружности.
Ответ: r=24.