Помогите пожалуйста ❤❤❤

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

При условии неотрицательности подкоренного выражения:
$x^3-3x-40 \geq 0$

Найдем точки пересечения оси OX графиком функции $f(x)=x^3-3x-40$ :

$x^3-3x-40=0\ \ (*)$
Пусть $x_0$ - корень уравнения (*)
и представим его в виде: $x_0=a+b$ , где $a$ и $b$ пока что неизвестны, тогда:

$(a+b)^3-3(a+b)-40=0\\\\ a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-3(a+b)-40=0\\\\ a^3+b^3+3ab(a+b)-3(a+b)-40=0\\\\ a^3+b^3+3(ab-1)(a+b)-40=0\ \ (**)\\\\$
----------------------
Пробуем наложить на $a$ и $b$ дополнительные условия:
$ab=1$

Получаем в этом случае, систему ур-й для $a$ и $b$ :
$\left \{ {{a+b=x_0} \atop {ab=1}} \right.$

По т. Виета, для любого $x_0$ такие $a$ и $b$ действительно существуют, могут быть комплексными, и являються корнями ур-я:
$v^2-x_0*v+1=0$

Т.е. получилось наложить дополнительные ограничения на $a$ и $b$ !!!

----------------
Если взять такие $a$ и $b$ , досих пор неизвестные, то ур-е (**) сведётся к:
$a^3+b^3-40=0\ \ (***)$

И тогда, возведя обе части ур-я $ab=1$ в куб, и объединяя с ур-ем (***) получаем:
$\left \{ {{a^3+b^3=40} \atop {a^3*b^3=1}} \right.$

Откуда за т. Виета $a^3$ и $b^3$ являються корнями ур-я:

$p^2-40p+1=0\\\\ D=40^2-4*1=4*(400-1)=(2\sqrt{399})^2\\\\ p_{1,2}=\frac{40\pm2\sqrt{399}}{2}\\\\ p_1=a^3=20+\sqrt{399}\ \ \ p_2=b^3=20-\sqrt{399}$

тогда $x_{1,2,3}=a+b=\sqrt[3]{20+\sqrt{399}}+\sqrt[3]{20-\sqrt{399}}$ - у каждого из этих кубических корней есть три значения, и только одно из них действительное, два других - коплекстны, что важно, для каждого выбранного значения первого кубического корня нужно выбирать соответсвующие значение второго кубического корня, что бы выполнялось условие: $ab=1$

Теперь пробуем разложить на множители выражение: $x^3-3x-40$

пусть $A=\sqrt[3]{20+\sqrt{399}}$ и $B=\sqrt[3]{20-\sqrt{399}}$ (берем действительные значения сейчас и потом)
замечаем, что
$A^3+B^3=20+20=40$
$A*B=\sqrt[3]{20+\sqrt{399}}*\sqrt[3]{20-\sqrt{399}}=\\\\ =\sqrt[3]{(20+\sqrt{399})*(20-\sqrt{399})}=\sqrt[3]{20^2-399}=\sqrt[3]{1}=1$

тогда:
$x^3-3x-40=0\\\\ x^3-3*1*x-(20+\sqrt{399}+20-\sqrt{399})=0\\\\ x^3-3*A*B*x-(A^3+B^3)=0\\\\$

$x^3+(A+B)x^2-3ABx-(A+B)x^2-\\ -(A+B)(A^2+B^2-AB)=0\\\\ x^3+(A+B)x^2+(A^2+B^2-AB)x-(A+B)x^2-\\-(A^2+2AB+B^2)x -(A+B)(A^2+B^2-AB)=0\\\\ x^3+(A+B)x^2+(A^2+B^2-AB)x-(A+B)x^2-(A+B)^2x-\\ -(A+B)(A^2+B^2-AB)=0\\\\ x*[x^2+(A+B)x+(A^2+B^2-AB)]-\\ -(A+B)*[x^2+(A+B)x+(A^2+B^2-AB)]=0\\\\ (x^2+(A+B)x+A^2+B^2-AB)*(x-(A+B))=0$

Итак! Оценим дискриминант полученного квадратного трехчлена, а именно:
$x^2+(A+B)x+A^2+B^2-AB$

$D=(A+B)^2-4*(A^2+B^2-AB)=\\\\ =A^2+B^2+2AB-4A^2-4B^2+4AB=\\\\ =-3A^2-3B^2+6AB=-3(A^2-2AB+B^2)=\\\\ =-3*(A-B)^2$

По скольку $A\neq B$ , то дискриминант отрицателен, т.е. квадратный трехчлен $x^2+(A+B)x+A^2+B^2-AB$ принимает исключительно положительные значения, и тогда, выражение $x^3-3x-40$ принимет неотрицательные значения лишь в случае когда

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x-%28A%2BB%29+%5Cgeq+0%5C%5C%5C%5C%0Ax+%5Cgeq+A%2BB%5C%5C%5C%5C%0Ax+%5Cgeq+%5Csqrt%5B3%5D%7B20%2B%5Csqrt%7B399%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B20-%5Csqrt%7B399%7D%7D%5C%5C%5C%5C%0Ax%5Cin%5B%5Csqrt%5B3%5D%7B20%2B%5Csqrt%7B399%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B20-%5Csqrt%7B399%7D%7D%3B%5C+%2B%5Cinfty%29" id="TexFormula43" title="x-(A+B) \geq 0\\\\ x \geq A+B\\\\ x \geq \sqrt[3]{20+\sqrt{399}}+\sqrt[3]{20-\sqrt{399}}\\\\ x\in[\sqrt[3]{20+\sqrt{399}}+\sqrt[3]{20-\sqrt{399}};\ +\infty)" alt="x-(A+B) \geq 0\\\\&#

xtoto_zn (8.6k баллов) 31 Май, 18