Функция f такова что для любых положительных х и у выполняется равенство:...

$f(xy)=f(x)+f(y)\\\\$

из условия задачи:
$f(1*1)=f(1)+f(1)\\\\ f(1)=2f(1)\\\\ f(1)=0$

для всех положительных $x$ и $y$ :
$f(1)=f(x*\frac{1}{x})$

имеем $f(x*\frac{1}{x})=0\\\\ f(x)+f(\frac{1}{x})=0\\\\ f(x)=-f(\frac{1}{x})\\\\$

тогда $f(2013)=-f(\frac{1}{2013})=-1$
-------------------------------
Ответ: $-1$