Найти частное решение, дифференциального уравнения, удовлетворяющих начальным условиям:...

Это дифференциальное уравнение первого порядка разрешенной относительно производной, ДУ с разделяющимися переменными.

$\dfrac{dy}{dx} =-xy$

Разделяя переменные, получим

$\dfrac{dy}{y}=-xdx$ уравнение с разделёнными переменными.

Проинтегрируем левую и правую части уравнения, получаем

$\displaystyle \int \dfrac{dy}{y}=-\int xdx ~~\Rightarrow~~~ \ln|y|=- \dfrac{x^2}{2} +C$
Получили общий интеграл.

Осталось найти частный интеграл, подставив начальные условия

$\ln|2|=- \dfrac{0^2}{2} +C~~~~\Rightarrow~~~ C=\ln2$

Ответ: $\ln|y|=- \dfrac{x^2}{2} +\ln 2$ - частный интеграл