1/2+1/(2+4)+1/(2+4+6)+...+1/(2+4+6+8+...+24)=?

$\frac{1}{2}+ \frac{1}{2+4} + \frac{1}{2+4+6} +...+ \frac{1}{2+4+6+8+...+24} =$ посчитаем знаменатели (для последнего слагаемого применим формулу суммы арифметической прогрессии)
$\frac{1}{2}+ \frac{1}{6} + \frac{1}{12}+ \frac{1}{20} +...+ \frac{1}{156} =$
становится видно, что знаменатели представляют собой произведение двух последовательных натуральных чисел
$\frac{1}{1*2} + \frac{1}{2*3} + \frac{1}{3*4}+ \frac{1}{4*5} +...+ \frac{1}{12*13} =$
представим дроби, начиная со второй, в виде разницы двух дробей со знаменателями-множителями
$\frac{1}{2} +( \frac{1}{2}- \frac{1}{3} )+( \frac{1}{3} - \frac{1}{4})+...+( \frac{1}{12} - \frac{1}{13})=$
при раскрытии скобочек многие слагаемые взаимоуничтожатся, и останется
$\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}- \frac{1}{13}=1- \frac{1}{13} = \frac{12}{13} .$