В равнобедренном треугольнике с боковой стороны, равной 4, проведена медиана боковой...

Сначала достроим из треугольника параллелограмм ABCD.
Основание треугольника BC возьмём за X для удобного обозначения и составления уравнения.
В параллелограмме ABCD отрезки AC и BD являются диагоналями. Согласно теореме для параллелограмма получаем:
$AC^{2}+BD^{2}=2(AB^{2}+BC^{2})$
Дальше подставляем числа и считаем:
$BD=3*2=6$
$4^{2}+6^{2}=2(4^{2}+x^{2})$
$16+36=32+2x^{2}$
$52-32=2x^{2}$
$20:2=x^{2}$
$x^{2}=10$
$x=\sqrt{10}$
Ответ: $BC = \sqrt{10}$