Низ синий, верх красный, сечение зелёное, вспомогательные линии серые
По теореме Пифагора
АС = √(4²+12²) = 4√10
AW = √(2²+4²) = 2√5
WZ = √(2²+6²) = 2√10
CZ = √(4²+6²) = 2√13
S(AWZC) = S(AB₂C) - S(WB₂Z)
ΔAB₂C ~ ΔWB₂Z
Коэффициент подобия k=1/2
S(AB₂C)*k² = S(WB₂Z)
S(AB₂C)/4 = S(WB₂Z)
S(AWZC) = S(AB₂C) - S(AB₂C)/4 = 3/4*S(AB₂C)
---
AB₂ = 2*AW = 4√5
CB₂ = 2*CZ = 4√13
Полупериметр ΔAB₂C
p = 1/2*(AC + AB₂ + CB₂) = 1/2(4√10 + 4√5 + 4√13) = 2√10 + 2√5 + 2√13
S(AB₂C) по формуле Герона
S²(AB₂C) = p(p-AC)(p-AB₂)(p-CB₂)
S²(AB₂C) = (2√10 + 2√5 + 2√13)(-2√10 + 2√5 + 2√13)(2√10 - 2√5 + 2√13)(2√10 + 2√5 - 2√13)
Вынесем двойки за скобки
S²(AB₂C) = 2⁴(√10 + √5 + √13)(-√10 + √5 + √13)(√10 - √5 + √13)(√10 + √5 - √13)
перемножим первые две скобки
(√10 + √5 + √13)(-√10 + √5 + √13) = (√5 + √13)² - (√10)² = 5 + 2√65 + 13 - 10 = 8 + 2√65
перемножим третью и четвёртую скобки
(√10 - √5 + √13)(√10 + √5 - √13) =
10 + √10*√5 - √10*√13
- √5*√10 - 5 + √5*√13
+√13*√10 + √13*√5 - 13
=
10 - 5 -13
+ 2*√5*√13
=
-8 + 2√65
--------------
S²(AB₂C) = 2⁴(8 + 2√65)(-8 + 2√65)
S²(AB₂C) = 2⁴((2√65)² - 8²)
S²(AB₂C) = 2⁴(4*65 - 64) = 2⁴(260 - 64) = 2⁴*196
S²(AB₂C) = 2²*14 = 56
д
стороны основания a b
высота c
диагональ d
площадь основания
S = ab
ab = 72
b = 72/a
------------
диагональ
d² = a² + b² + c²
17² = a² + b² + 12²
a² + b² = 17² - 12²
a² + b² = (17 - 12)*(17+12)
a² + b² = 5*29
a² + b² = 145
---
a² + (72/a)² = 145
подстановка
t = a²
t + 72²/t - 145 = 0
t² -145t + 72² = 0
Дискриминант квадратного уравнения
D = 145² - 4*72² = 145² - 144² = 1*(145+144) = 289 = 17²
t₁ = (145 - 17)/2 = 128/2 = 64
a₁ = -8 (отбрасываем)
a₂ = +8 (хороший корень)
t₂ = (145 + 17)/2 = 162/2 = 81
a₃ = -9 (отбрасываем)
a₄ = +9 (хороший корень)
В силу симметрии уравнения по переменным a и b
а = 8
b = 9
Или наоборот.
