Через середину К медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая...

Question

Через середину К медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырехугольника KPCM.

Answer 1

Треугольник АВС, ВМ-медиана, медианы делят треугольник на два равновеликих треугольника S ABM = S MBC=1/2 S ABC, треугольник АВМ, АК - медиана ВК=КМ,
S ABK = S AKM =1/2 ABM =1/4 S ABC
Проводим МН - параллельную АР, АР-средняя линия треугольника АРС =1/2АР, треугольник МВН , КР - средняя линия =1/2МН=1/4АР, АР=4КР, АК=АР-КР=4КР-КР=3КР, Проводим высоту ВТ - одинаковая для треугольника АВР и треугольника АВК, S АВР=1/2АР*ВТ=(4КР*ВТ)/2, S АВК=1/2АК*ВТ=(3КР*ВТ)/2
S ВКР=S АВР - S АВК = (КР*ВТ)/2, S АВК/S ВКР = ((3КР*ВТ)/2) / ((КР*ВТ)/2)=3/1
 S ВКР = 1/3 S АКВ = (1/4 АВС)*(1/3)=1/12
S МКРС = S МВС - S ВКР = 1/2S АВС - 1/12S АВС=5/12 S АВС
S АВК / S МКРС = 1/4 : 5/12 = 12/20=3/5