Базар Ринчинович Ринчино родился в 1913 году в Агинской степи (Акшинский уезд Забайкальской области Российской империи, ныне Могойтуйский район Забайкальского края Российской Федерации) в семье скотоводов-кочевников Ринчино Золтоева и Цыремжит Бальчиновой. Бурят.
Окончил начальную школу в посёлке Боржигантай. Девятилетнее образование завершал в школе посёлка Агинское. В 1930 году он поступил в Агинское педагогическое училище, по окончании которого работал учителем в Зуткулейскойначальной школе. В 1935 году был назначен её директором.
В ряды Рабоче-крестьянской Красной Армии Б. Р. Ринчино был призван в начале 1943 года. До осени 1943 года службу проходил в запасном полку, освоил воинскую специальность наводчика противотанкового ружья. В боях с немецко-фашистскими захватчиками сержант Б. Р. Ринчино с сентября 1943 года в составе 1-го мотострелкового батальона 71-й механизированной бригады 9-го механизированного корпуса 3-й гвардейской танковой армии Воронежского (с 20 октября 1943 года — 1-го Украинского) фронта в должности командира отделения роты противотанковых ружей.