В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведены медианы AM и BN. Найдите AB,...

ΔАВС: ∠С=90° , АМ и ВN - медианы ⇒ ВМ=МС и AN=NC ,
АМ=19 , BN=22 / Найти: АВ.
Обозначим ВМ=МС=а , AN=NC=b .
Применим теорему Пифагора для ΔАСМ и ΔBCN:

$\left \{ {{a^2+(2b)^2=19^2} \atop {(2a)^2+b^2=22^2}} \right. \; \left \{ {{a^2+4b^2=361} \atop {4a^2+b^2=484}} \right.\; \left \{ {{a^2=361-4b^2} \atop {4(361-4b^2)+b^2=484}} \right.\; \left \{ {{a^2=361-4b^2} \atop {1444-15b^2=484}} \right.\\\\ \left \{ {{a^2=361-4b^2} \atop {15b^2=960}} \right. \; \left \{ {{a^2=105} \atop {b^2=64}} \right. \; \left \{ {{a=\sqrt{105}} \atop {b=8}} \right.$

$AC=2b=16\; ,\; \; BC=2\sqrt{105}\\\\AB^2=AC^2+BC^2=256+4\cdot 105=676\\\\AB=26$