Задача очень длинная и нудная. Я не буду расписывать все 8 случаев, ограничусь двумя.
Во-первых, сразу заметим, что слева сумма трёх модулей, а справа 5а.
Значит, а не может быть меньше 0.
Во-вторых, рассмотрим а=0.
|x| + |x| + |x| = 0; x=0.
Корень есть, значит, а=0 подходит.
И, наконец, самое трудное, а>0.
Рассмотрим разные случаи значений модулей.
1)
{ x-a^2-3a<0; x{ x-a^2+2a<0; x{ 2x-a^2-a<0; xВсе модули будут наоборот.<br>a^2+3a-x+a^2-2a-x+a^2+a-2x-5a=0
3a^2-3a=4x
x=3a(a-1)/4
Подставляет этот х в условия и находим, каким должно быть а.
{ 3a(a-1)/4 < a(a+3)
{ 3a(a-1)/4 < a(a-2)
{ 3a(a-1)/4 < a(a+1)/2
Так как а>0, можно разделить всё на а, знаки неравенств не изменятся.
Заодно умножим всё на 4
{ a-1 < 4(a+3); a>-15
{ a-1 < 4(a-2); a > 5
{ 3(a-1) < 2(a+1); a < 5
2 и 3 неравенства противоречат друг другу.
Значит, здесь решений нет.
2)
{ x-a^2-3a<0; x{ x-a^2+2a<0; x{ 2x-a^2-a>=0; x>=a(a+1)/2
a^2+3a-x+a^2-2a-x+2x-a^2-a-5a=0
a^2-5a=0; x любое.
х убралось из выражения, значит, оно верно при любом х.
а(а-5)=0
а=0 - мы уже знаем, это решение.
а=5, тогда получается следующее:
|x-25-15|+|x-25+10|+|2x-25-5|=25
|x-40|+|x-15|+|2x-30|=25
Заметим, что |2x-30|=2*|x-15|
|x-40|+3*|x-15|=25
При x<15 будет<br>40-x+3(15-x)=25
40-x+45-3x=25
60=4x; x=15 не подходит, x<15.<br>При 15 <= x < 40 будет<br>40-x+3(x-15)=25
40-x+3x-45=25
2x=30; x=15 подходит.
Значит, а=5 подходит, x=15.
При x >=40 будет
x-40+3(x-15)=25
x-40+3x-45=25
4x=110; x=110/4=27,5<40 не подходит.<br>
Остальные случаи пишите сами, они решаются точно также.
Всего их 8 случаев, с разными знаками у трёх неравенств.
Прорешал все остальные случаи, получилось ещё одно решение.
{ x
{ x>=a(a-2)
{ x>=a(a+1)/2
В этом случае для любого а € [0;5] будет x=a(a+1)/2
При всех остальных а решений нет.
Ответ: а € [0; 5]