4.23 любое задание, даю 40 баллов

Б)
$\int\limits^{ \frac{ \pi }{4} }_0 {tgxlncosx} \, dx = \int\limits^{ \frac{ \pi }{4} }_0 { \frac{sinx}{cosx} lncosx} \, dx = - \int\limits^{ \frac{ \pi }{4} }_0 { \frac{lncosx}{cosx}d(cosx) } = \\ t = cosx, \ \ x = \frac{ \pi }{4} :\ t = \frac{\sqrt2}{2} ,\ \ x = 0: t= 1 \ \\ = -\int\limits^{\frac{\sqrt2}{2}}_1 { \frac{lnt}{t} dt} = -\int\limits^{\frac{\sqrt2}{2}}_1 { lnt \ d(lnt)} =- \frac{1}{2} ln^2t |_1^ \frac{ \sqrt{2} }{2} =$
$= -\frac{1}{2} ln^2( \frac{ \sqrt{2} }{2}) + \frac{1}{2} ln^21 = -\frac{1}{2} ln^2 \frac{ \sqrt{2} }{2}$

Ответ:
$-\frac{1}{2} ln^2 \frac{ \sqrt{2} }{2}$