Возможность положительного определения бесконечности как чего-то всеобъемлющего, в-себе-сущего, являющегося обоснованием всякого конечного бытия мы встречаем у Анаксимандра. Следуя традиции милетской школы в древнегреческой философии, Анаксимандр занимался поиском “архэ” - первичной материи, первоначала, из которого образуется все многообразие предметов и явлений окружающего мира. Первоматерия, первоисточник всех вещей не может иметь начала или границы, так как в этом случае первоматерия не была бы чем-то первичным, а была бы чем-то ограничена, и за первоначало пришлось бы принимать то, что находится за ее границей. Таким образом, первоначало должно быть неограниченным, безграничным, беспредельным, другими словами, принцип мирового первоначала, “архэ” связывается у Анаксимандра с принципом бесконечности, “апейроном”. Аристотель следующим образом передает рассуждения Анаксимандра: “Все существующее или является началом, или исходит из начала; для бесконечного же не существует начала, так как оно было бы его пределом. Далее, бесконечное не возникает и не уничтожается, так же как начало; то, что возникает, должно необходимо получить конечное завершение, и всякое уничтожение приводит к концу. Поэтому, как мы сказали, у него нет начала, а оно само по видимости является началом, все объемлет и всем управляет...”. И “архэ”, и “апейрон” в анаксимандровской философии одно и то же - материальное “бесконечное первоначало”. При этом понятие “архэ” выражает его первичность по отношению ко всем объектам окружающего нас мира, а понятие “апейрон” выражает его безграничность, беспредельность, неопределенность, связанную с его всеобщностью. В понятии “архэ” выражается связь бесконечного первоначала с конечным миром вещей вокруг нас, а в понятии “апейрон” - их различие, их противоположность друг другу. Положение о единстве “архэ” и “апейрона” - одна из важнейших заслуг Анаксимандра в истории философии.
Начиная с древних философских учений, ведется дискуссия между сторонниками финитизма и инфинитизма. Их позиции по существу могут быть сведены, соответственно, к отрицанию или признанию существования бесконечного как в форме беспредельности, так и в форме бесконечной делимости. В античной науке финитизм был связан с математическим идеалистическим “атомизмом” пифагорейцев или материалистическим атомизмом Левкиппа и Демокрита. Демокрит, отвергая в своем атомистическом учении бесконечную делимость, отрицал тем самым бесконечность, рассматриваемую как бы “вглубь”. Однако бесконечность, взятую “вширь”, т.е. бесконечное число единиц, существующих одновременно, Демокрит неоднократно признавал существующей. Именно идея атомизма при категоричном и одностороннем ее понимании часто становилась в истории науки жестко финитистской концепцией. В противоположность финитистскому атомизму Анаксагор считал, что “материя делима до бесконечности, самое малое заключает в себе бесконечность”. Аристотель указывал на то, что из утверждений Анаксагора вытекает, будто “в конечной величине... бесконечное множество равных конечных (частей), что невозможно”, “в непрерывном заключено бесконечное (число) половин, но только не в действительности, а в возможности”. Следует отметить, что на протяжении тысячелетий ни одна из противоположных концепций не смогла утвердиться в качестве достаточной базы для удовлетворительного логического решения возникающих мировоззренческих и конкретно-научных, в частности, математических, проблем.
В подходах инфинитистов имелись заметные разногласия по вопросу о том, наличествует ли только потенциальная бесконечность как “возможность всего конечного”, или следует признать также и существование актуальной бесконечности, которая не только заключается в возможной беспредельной последовательности каких-либо объектов или актов, но и дана целиком, сразу во всем своем объеме. Например, знаменитая аксиома Евдокса - Архимеда сводила бесконечность только к потенциальной, поскольку утверждала, что для любых двух неравных величин путем деления большей из них пополам рано или поздно можно достичь такого момента, когда большая величина превратится в меньшую из двух. Согласно Аристотелю, следует принимать не актуальную бесконечную разделенность, но потенциальную бесконечную делимость в смысле неограниченной возможности подразделения. У Платона беспредельность, так же как у Аристотеля, выступает как некая постоянная возможность процесса деления, т.е. как потенциальная бесконечность. Актуальная бесконечность признавалась средневековыми философами как выражение абсолютной полноты и совершенства божественных атрибутов. Фома Аквинский связывал ее с неподвижностью, постоянством. Это характерная черта метафизического отождествления бесконечного с абсолютным “в чистом виде”, оторванным и противопоставленным относительному. (Данное понимание перешло в объективно-идеалистическую философию неотомизма.) В средние века появились и зачатки концепции множественности актуальной бесконечности (Сабит Ибн Корра, Роберт Линкольнский