Нужно использовать синонимы, имя. Нельзя в каждом предложении использовать одно и то же слово (в данном случае - собака). "Один раз" - это разговорный жанр, лучше заменить на "однажды".
Однажды я гулял со своей собакой. Она резво бежала около ноги. Но вдруг моя питомица заметила в кустах кошку. Найда напряглась, взвизгнула и сделала рывок в сторону кошки. Но не тут-то было. Я сразу взял её на короткий поводок и удержал от расправы.