Решите пожалуйста 2 номер. Очень срочно нужно. Нужна формула и решение. Заранее спасибо..

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Номер 2.

Будем считать орбиты Земли вокруг Солнца и Юпитера вокруг Солнца очень близкими к круговым. Период обращения Юпитера вокруг Солнца в 12 раз больше периода обращения Земли вокруг Солнца: T2 = 12*T1

При движении тела (Земли или Юпитера) массой m по круговой орбите вокруг другого тела (Солнца) массой M сила притяжения Fт является центростремительной Fцс:
Fт = Fцс
Центростремительная сила определяется выражением:
Fцс = m*V²/R, где
V – линейная скорость движения по орбите, м/с;
R – радиус орбиты, м.
Силу притяжения Fт выразим по закону всемирного тяготения:
Fт = G*m*M/R², где
G = 6,67*10^(-11) Н*м²/кг² – гравитационная постоянная.
Тогда:
$G\dfrac{mM}{R^2} = \dfrac{mV^2}{R} \\ \\ G\dfrac{M}{R} = V^2 \\ V = \sqrt{\dfrac{GM}{R}}$

Период T равномерного движения по круговой траектории (время полного оборота, то есть прохождения всей длины L окружности радиусом R):
$T = \dfrac{L}{V} \\ \\ T = \dfrac{2\pi R}{V} \\ \\ T = \dfrac{2\pi R}{\sqrt{\dfrac{GM}{R}}} \\ \\ T = \dfrac{2\pi R\sqrt{R}}{\sqrt{GM}}}$
Видно, что период движения небесного тела вокруг Солнца (массой M) зависит только от радиуса его орбиты R. Выразим R из уравнения:
$T^2 = \dfrac{4\pi^2 R^3}{GM}} \\ \\ R = \sqrt[3]{\dfrac{GMT^2}{4\pi^2}}}$

Записав это выражение для радиусов орбит Юпитера и Земли и поделив одно на другой, получим интересную мысль о том, что расстояния от Солнца до планет относятся как корни третьей степени из квадратов из периодов (грубо говоря, мы пришли к третьему закону Кеплера):
$\dfrac{R_2}{R_1} = \sqrt[3]{\dfrac{T_2^2}{T_1^2}} \\ \\ \dfrac{R_2}{R_1} = \sqrt[3]{12^2} \\ \\ R_2 \approx 5,24R_1$

Т.к. Земля находится на расстоянии в 1 а. е. (астрономическую единицу) от Солнца (примерно 150 млн. км), то Юпитер в среднем находится на расстоянии:
R2 ≈ 5,24 а. е. или
R2 ≈ 787,5 млн. км

Ответ: 5,24 а. е. или 787,5 млн. км

ollikahnstex_zn (3.2k баллов) 01 Июнь, 18