Докажите, что если а^21 делится ** b^10, то а^2 делится ** b

Question

Докажите, что если а^21 делится на b^10, то а^2 делится на b

Answer 1

Предположим, что найдётся простое число p, входящее в разложение числа a² на простые множители с показателем меньшим, чем в разложение числа b. То есть, если a делится на pk, но не делится на pk+1, а b делится на pm, но не делится на pm+1, то  m > 2k,  а значит,  m ≥ 2k + 1. Но из делимости a21 на b10 следует, что  21k ≥ 10m.  Отсюда  21k ≥ 10(2k + 1),  то есть  k ≥ 10.  Но  a < 1000 < 210 ≤ p10 ≤ pk,  поэтому a не может делиться на pk. Противоречие.