В комнате находятся 100 человек, каждый из которых либо рыцарь, который всегда говорит...

Question

В комнате находятся 100 человек, каждый из которых либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт, причём все они разного роста. Каждый из находящихся в комнате сказал ровно одну из двух фраз: <<Хотя бы 10 лжецов ниже меня>>; <<Хотя бы 10 лжецов выше меня>>. Какое наименьшее число рыцарей может быть в комнате?

Answer 1

Пусть в комнате 1 рыцарь и, соответственно, 99 лжецов.
Пусть лжецы выстроены в порядке возрастания роста:
z₁, z₂, z₃, ..., z₉₉.
Рассмотрим, для каких лжецов какая фраза будет истинной или ложной.
<<Не менее 10 лжецов ниже меня>>:
Для первых десяти лжецов z₁-z₁₀ эта фраза действительно ложь, так как слева от них стоит меньше 10 человек. Для остальных лжецов слева стоит хотя бы 10 лжецов, и соврать таким образом они не могут.
<<Не менее 10 лжецов выше меня>>:
Напротив, эта фраза ложна для последних десяти лжецов z₉₀-z₉₉, так как справа от них стоит меньше 10 человек. Для остальных лжецов справа стоит хотя бы 10 лжецов, и, сказав эту фразу, они не соврут.
Таким образом, соврать смогли лишь 20 лжецов: первые десять человек и последние десять человек (с наименьшим и наибольшим ростом). Это наибольшее число лжецов, которое может быть в этой ситуации. Именно оно обеспечивает наименьшее число рыцарей, которых будет 100-20=80.
Ответ: 80