Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

Это дифференциальное уравнение второго порядка, независящее явным образом от неизвестной переменной х. Данное уравнение имеет вид $y''=f(y,y')$ .
Вводим новую функцию $p(y).$ Положим $y'=p(y)$ , тогда $y''=pp'$
В результате имеем, что $ypp'-p^2-1=0$ - уравнение с разделяющимися переменными $\displaystyle \frac{dp}{dy} = \frac{p^2+1}{py} ~~~\Rightarrow~~~ \frac{pdp}{p^2+1} = \frac{dy}{y}$ Проинтегрируем обе части последнее равенство , получим
$\displaystyle \frac{1}{2} \int \frac{d(p^2+1)}{p^2+1} =\int \frac{dy}{y} ~~~\Rightarrow~~~ 0.5\ln(p^2+1)=\ln|y|+\lnC\\ \\ \sqrt{p^2+1} =C_1y~~~\Rightarrow~~~ p^2=C_1y^2-1$
Тогда, выполнив обратную замену, получим
$y'= \pm\sqrt{C_1y^2-1}\\ \\ \dfrac{dy}{ \sqrt{C_1y^2-1} } =\pm dx$

Интегрируя получим

$\dfrac{1}{ \sqrt{C_1} } \ln| \sqrt{C_1y^2-C_1}+C_1y| =\pm x+C_2$ - общий интеграл