Есть 10 кошельков с 1,2,3,....,10 монетками. Можно из любого кошелька Х перекладывать в...

Question

Есть 10 кошельков с 1,2,3,....,10 монетками. Можно из любого кошелька Х перекладывать в кошелек Y столько монет сколько их в кошельке Y. Сколько нужно сделать перекладываний чтобы в пяти кошельках оказалось по 3 монеты, а в рстальных по 6,7,8,9,10 монет соответственно?
А)3 Б)4 В)5 Г)Это невозможно

Answer 1

Это невозможно.

Пусть в некоторый момент переложили монеты из кошелька, содержащего a монет, в кошелёк, содержащий b монет. Разберёмся, что произошло с чётностями количеств монет, для этого рассмотрим 4 варианта:
1) a – чётное, b – чётное. Тогда новые количества a - b и 2b – тоже чётные.
2) a – чётное, b – нечётное. Тогда a - b – нечётное, 2b – чётное.
3) a – нечётное, b – чётное. Тогда a - b – нечётное, 2b – чётное.
4) a – нечётное, b –  нечётное. Новые количества в этом случае станут чётными.

Итак, в результате одного перекладывания количество кошельков с нечётным количеством монет либо не изменилось (случаи 1-3), либо уменьшилось на 2 (случай 4). Значит, любое количество таких перекладываний не может увеличить количество кошельков с нечётным количеством монет.

В начальном состоянии (1, 2, 3, ..., 10) есть 5 кошельков с нечётным количеством монет, поэтому получить из него распределение монет (3, 3, 3, 3, 3, 6, 7, 8, 9, 10), содержащее 7 кошельков с нечётным количеством монет, нельзя.