Дана функция f(x)=2x^3-9x^2+12x.
Найти наибольшее значение её на отрезке [0;3].
Находим производную:
y' = 6x^2-18x +12 и приравниваем нулю:
6x^2-18x +12 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-18)^2-4*6*12=324-4*6*12=324-24*12=324-288=36;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√36-(-18))/(2*6)=(6-(-18))/(2*6)=(6+18)/(2*6)=24/(2*6)=24/12=2;x_2=(-√36-(-18))/(2*6)=(-6-(-18))/(2*6)=(-6+18)/(2*6)=12/(2*6)=12/12=1.
Имеем 2 критические точки - 3 промежутка значений производной.
Находим знаки производной на этих промежутках.
x = 0 1
1,5
2 3
y' =
12 0 -1,5
0 12.
В точке х = 1 производная переходит с + на -, это точка локального максимума.
Но, как видим, после точки х = 2 функция возрастает( знак + производной).
Поэтому находим значение функции на правой границе промежутка.
х = 3, у = 2*3³-9*3²+12*3 = 54-81+36 = 9.
Ответ: максимальное значение функции на заданном промежутке равно 9.