ПРОФИЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА С ПОЛНЫМ РЕШЕНИЕМ

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Решить неравенство
$\frac{x^4-2x^2+1}{2x^2-x-6}\geq \frac{x^4-2x^2+1}{2x^2-7x+6}$

Решение

Числители обеих дробей равны

x⁴ - 2x² + 1 = (x² - 1)²

Следовательно при х = 1 и х = -1 числители данных неравенств равны нулю и неравенство истинно.
Знаменатели дробей раскладываем на множители
2x² - x - 6 = 0
D =(-1)² - 4*2*(-6) = 1 + 48 = 49
$x_1=\frac{1- \sqrt{49}}{2*2}=\frac{1-7}{4}= \frac{-6}{4}= -1,5$
$x_2=\frac{1+ \sqrt{49}}{2*2}=\frac{1+7}{4}=2$

2x² - x - 6 = 2(x + 1,5)(x - 2) = (2x + 3)(x - 2)

2x² - 7x + 6 = 0
D = 7² - 4*2*6 = 49 - 48 = 1
$x_1 = \frac{7- \sqrt{1}}{2*2}=\frac{6}{4}=1,5$
$x_2=\frac{7+ \sqrt{1}}{2*2}=\frac{8}{4}=2$

2x² - 7x + 6 = 2(x - 1,5)(x - 2) = (2x - 3)(x - 2)

ОДЗ неравенства:х≠-1,5; x≠1,5; x≠2.

Запишем полученные выражения в исходное неравенство
$\frac{(x^2-1)^2}{(2x+3)(x-2)}\geq \frac{(x^2-1)^2}{(2x-3)(x-2)}$
$\frac{(x^2-1)^2}{(2x+3)(x-2)}-\frac{(x^2-1)^2}{(2x-3)(x-2)}\geq 0$
$(x^2-1)(\frac{1}{(2x+3)(x-2)}-\frac{1}{(2x-3)(x-2)})\geq 0$
$(x^2-1)(\frac{2x-3-(2x+3)}{(2x+3)(2x-3)(x-2)})\geq 0$
$(x^2-1)(\frac{-6}{(2x+3)(2x-3)(x-2)})\geq 0$
Делим обе части неравенства на -6
$\frac{(x^2-1)^2}{(2x+3)(2x-3)(x-2)}\leq 0$

Решаем методом интервалов
Находим точки где множители меняют свой знак
x₁ = -1,5   x₂ = 1,5   x₃ = 2
Наносим эти точки на числовую прямую и находим знаки левой части неравенства по методу подстановки.
Например при х=0
$\frac{(0 -1)^2}{(2*0+3)(2*0-3)(0-2)}=\frac{1}{3*(-3)(-2)} \ \textgreater \ 0$

   -          +            -    +
------o----------o--------o-----------
     -1,5         1,5        2

Следовательно решением неравенства являются
все значения х∈[-∞;-1,5)U{-1}U{1}U(1,5;2)

Ответ: х∈[-∞;-1,5)U{-1}U{1}U(1,5;2)

Minsk00_zn (11.0k баллов) 05 Июнь, 18