Плоскость α проходит через середину ребра AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1...

Question

Плоскость α проходит через середину ребра AD прямоугольного
параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 перпендикулярно прямой BD1.
а) Докажите, что угол между плоскостью α и плоскостью ABC равен углу между прямыми BB1 и B1D .
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью ABC , если объём
параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 48корень3 , AB = 2корень3 и AD = 6

Comments

Условие что плоскость проходит через середину ребра в этой задаче лишнее

Answer 1

1)
BD1 вектор нормали к плоскости альфа
ВВ1 вектор нормали к плоскости АВС
Угол между плоскостями равен углу между их нормалями.

2)
Найдем АА1
| АА1 | = V / | AB | / | AD | = 4

Пусть А- начало координат
Ось Х - АВ
Ось У - АD
Ось Z - AA1

Вектора
ВВ1 (0;0;4) длина 4
В1D(-2√3;6;-4) длина √(12+36+16)=8
Косинус угла между векторами и искомыми плоскостями равен
| ВВ1 * B1D | / | BB1| / | B1D | = 16/4/8= 1/2
Угол 60 градусов.

Answer 2

I.   Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямоугольный, все грани - прямоугольники.  К - середина ребра AD:  AK = KD
Прямая BD₁ содержит диагональ параллелепипеда.
Диагональ BD₁ лежит в плоскости диагонального сечения BB₁D₁D.
B₁B⊥(ABCD)  и  D₁D⊥(ABCD)  ⇒   (BB₁D₁D)⊥(ABCD)

Построение плоскости α:
1) из точки K провести перпендикуляр к диагонали основания BD до пересечения с ребром BC:   KE⊥BD;   P∈BC;
2) из точки Е провести перпендикуляр к диагонали параллелепипеда BD₁ до пересечения с ребром BB₁ : EF⊥BD₁; M∈BB₁;
3) соединить точки M и P;
4) от точки К в плоскости AA₁D₁D провести отрезок KN║MP;
5) соединить точки N и M.
Четырёхугольник  KNMP - сечение плоскостью α параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁
KE⊥BD; MB⊥BD ⇒ ME⊥KE по теореме о трёх перпендикулярах  ⇒
∠MEB - угол между плоскостью α и основанием ABCD

Доказать:  ∠MEB=∠BB₁D
BB₁D₁D - прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам ⇒
ΔBOD - равнобедренный :  ∠OBD=∠ODB
ΔBB₁D и ΔFEB :  ∠B₁BD = ∠BFE = 90°; ∠FBE=∠B₁DB  ⇒
∠FEB = ∠BB₁D 
Таким образом   ∠MEB = ∠BB₁D

II.  Дано: V = 48√3; AB = 2√3; AD = 6
Найти ∠MEB

V = AB*AD*BB₁

ΔBAD - прямоугольный : ∠BAD = 90°; AB = 2√3; AD = 6
Теорема Пифагора
BD² = AB² + AD² = (2√3)² + 6² = 12 + 36 = 48
BD = √48 = 4√3
ΔB₁BD - прямоугольный : ∠B₁BD = 90°; BD = 4√3; BB₁ = 4
tg∠BB₁D = BD/BB₁ = 4√3 / 4 = √3
√3 - табличное значение тангенса угла 60°  ⇒
∠MEB = ∠BB₁D = 60°

Ответ: угол между плоскостью α и плоскостью ABCD равен 60°

---