Простое неоднородное уравнение 2 порядка.
Решение функция y = y0 + y~
Решаем сначала однородное.
y'' - y' = 0
Характеристическое уравнение
k^2 - k = 0
k1=0; k2=1
y0 = C1*e^0x + C2*e^x = C1 + C2*e^x
Теперь решаем неоднородное.
y~ = x*(Ax+B) = Ax^2 + Bx
y~' = 2Ax + B
y~'' = 2A
Подставляем в уравнение
2A - 2Ax - B = 4 + x
Составляем систему по степеням.
{ -2A = 1
{ 2A - B = 4
Решаем
A = -1/2; B = -1 - 4 = -5
y~ = -1/2*x^2 - 5x
В итоге
y = y0 + y~ = C1 + C2*e^x - 1/2*x^2 - 5x