Определить тип дифференциальных уравнения и найти его решения.

Тип: дифференциальное уравнение первого порядка разрешенной относительно производной, однородное.

Пусть $y=ux$ , тогда $y'=u'x+u$ получим

$u'x+u= \dfrac{u^2x^2}{x^2}+8\cdot \dfrac{ux}{x} +12\\ \\ u'x+u=u^2+8u+12\\ \\ u'x=u^2+7u+12$

Получили уравнение с разделяющимися переменными, разделяя переменные имеем

$\displaystyle \int \frac{du}{u^2+7u+12}=\int \frac{dx}{x} ;~~~\Rightarrow~~~ \int\bigg( \frac{1}{u+3}- \frac{1}{u+4}\bigg)du=\int \frac{dx}{x}$

$\ln|u+3|-\ln|u+4|=\ln|x|+\ln C\\ \\ \ln \bigg |\dfrac{u+3}{u+4}\bigg| =\ln |xC|\\ \\ \\ Cx=1-\dfrac{1}{u+4}~~\Rightarrow~~~ u+4= \dfrac{1}{1-Cx} ~~\Rightarrow~~ u= \dfrac{4Cx-3}{1-Cx}$

Возвращаемся к обратной замене

$\dfrac{y}{x} =\dfrac{4Cx-3}{1-Cx}~~~\Rightarrow~~~ \boxed{\dfrac{4Cx^2-3x}{1-Cx}}$ - общее решение