Найдите частное решение ОДУ^2: y"-y'-6y=0 с начальными условиями y(0)=1, y'(0)=3....

Question

Найдите частное решение ОДУ^2: y"-y'-6y=0 с начальными условиями y(0)=1, y'(0)=3. Запишите значение переменной y этого частного решения при значении переменной x, равном 1/3

Answer 1

Характеристическое уравнение k²-k-6=(k+2)*(k-3) имеет действительные неравные корни k1=-2 и k2=3, поэтому общее решение уравнения имеет вид y=C1*e^(-2*x)+C2*e^(3*x). Производная y'=-2*C1*e^(-2*x)+3*C2*e^(3*x). Используя начальные условия, получаем систему уравнений:
C1+C2=1-2*C1+3*C2=3
Решая её, находим C1=0, C2=1. Тогда частное решение уравнения y1=e^(3*x). Если же x=1/3, то y1(1/3)=e^(x).

Ответ: e^(3*x), e^(x).