По определению логарифма он имеет смысл когда его основание ≠1 и >0
у нас основание 10, так же log(m) имеет смысл при m>0
Значит надо найти k при котором парабола kx²-2x+1 имеет два корня равные единице или превращается в (x -1)² получаем
(x -1)² = kx²-2x+1 или x²-2x+1 = kx²-2x+1 получаем k=1
т.е. выражение x²-2x+1 равно нулю только в точке x=1, значит и логарифм при k=1 не определен только в точке x=1.