Найти уравнение касательной в точке М( 1; 1/2) функции 0,5x² + 4x
Решение
Проверим не является ли точка М(1;1/2) точкой касания.Если точка М(1;1/2) является точкой касания, и её координаты должны удовлетворять уравнению функции.
Подставим координаты точки М(1;1/2) в уравнение функции у = 0,5x² + 4x.
0,5 = 0,5·1² + 4·1
0,5 ≠ 4,5
значит точка M(1;1/2) не является точкой касания.
Уравнение касательной выглядит
y = f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)
Значение функции в точке х₀ равно
f(x₀)= 0,5x₀² + 4x₀
Найдём производную в точке x₀
f'(x) = (0,5x² + 4x)' = x + 4
f'(x₀) = x₀ + 4
Подставим найденные выражения в формулу касательной
0,5 = 0,5x₀² + 4x₀ + (x₀ + 4)(1 - x₀)
Решим это уравнение
0,5x₀² + 4x₀ - x₀² - 3x₀ + 4 - 0,5 = 0
0,5x₀²+ x₀ + 3,5 = 0 x₀²- 2x₀ - 7 = 0
D = 2² - 4*(-7) = 4 + 28 = 32
Первый корень уравнения
x₀ = (2 - 4√2)/2 = 1 - 2√2
f(x₀) = 0,5(1-2√2)² + 4(1-2√2) = 0,5(1-4√2+8) + 4 - 8√2 =
= 4,5 - 2√2 + 4 - 8√2 = 8,5 - 10√2
f'(x₀) = 1 - 2√2 + 4 = 5 - 2√2
Уравнение касательной в точке x₀ = 1 - 2√2 f(x₀) = 8,5 - 10√2
y = 8,5 - 10√2 + (5 - 2√2)(x - 1 + 2√2) =
= 8,5 - 10√2 - 5 + 10√2 + 2√2 - 8 + (5-2√2)х = (5-2√2)х + 2√2 - 4,5
Второй корень уравнения
x₀=(2+4√2)/2 = 1 + 2√2
f(x₀) = 0,5(1 + 2√2)² + 4(1 + 2√2) = 0,5(1 + 4√2 + 8) + 4 + 8√2 =
= 4,5 + 2√2 + 4 + 8√2 = 8,5 + 10√2
f'(x₀) = 1 + 2√2 + 4 = 5 + 2√2
Напишем уравнение касательной в точке x₀ = 1 + 2√2 f(x₀) = 8,5 + 10√2
y = 8,5 + 10√2 + (5 + 2√2)(x - 1 - 2√2) =
= 8,5 + 10√2 - 5 - 10√2 - 2√2 - 8 + (5 + 2√2)х = (5 + 2√2)х - 4,5 - 2√2
Получили два уравнения касательных удовлетворяющих условиям задачи
Ответ: y = (5 - 2√2)х + 2√2 - 4,5; y = (5 + 2√2)х - 4,5 - 2√2