Второй выигрывает, если будет играть так:
после каждого хода оппонента кидать монеты в те коробки, куда оппонент ничего не положил
тогда после 19 хода во всех коробках будет 19 монет.
после любого хода первого, второй просто кладет монетку в коробку, где 20 монет и выигрывает.
ЗЫ это при условии, что кидать за ход можно "не более 10 монет", если "ровно 10", то рассуждать по другому следует...