Решите систему неравенств

Question 1

Question 2

Решаем первое неравенство системы:
Пусть $3^x = t$ . Тогда первое неравенство равносильно системе неравенств:
$\begin {cases} t\ \textgreater \ 0 \\ 3t+\frac{2}{t}-7 \leq 0 \end {cases}\ \ \textless \ =\ \textgreater \ \begin {cases} t\ \textgreater \ 0 \\ \frac{3t^2-7t+2}{t} \leq 0 \end {cases}\ =\ \textgreater \ 3t^2-7t+2 \leq 0\\ (3t-1)(t-2) \leq 0\ =\ \textgreater \ \frac{1}{3} \leq t \leq 2$
Вернемся к х: $\frac{1}{3} \leq 3^x \leq 2\ =\ \textgreater \ x \in [-1;\ log_32]$

Решаем второе неравенство системы:
$\frac{x(x+1)-1}{x} + \frac{7x(x-1)+2}{x-1} \leq 8x+1 \\ x+1- \frac{1}{x} +7x+ \frac{2}{x-1} \leq 8x+1 \\ (8x+1)+ \frac{2}{x-1}- \frac{1}{x} -(8x+1) \leq 0 \\ \frac{2}{x-1}- \frac{1}{x} \leq 0\\ \frac{2x-x+1}{x(x-1)} \leq 0\\ \frac{x+1}{x(x-1)} \leq 0$
- + - +
------|----o----o----> x => x ∈ (-∞; -1]∪(0; 1)
-1 0 1
Находим пересечение решений первого и второго неравенств, получим ответ: ${-1} \cup (0;\ \log_32]$

Ответ: ${-1} \cup (0;\ \log_32]$

Question 3

1)3^х+1+2*3^-х≤7
Решаем неравенство
относительно х
x∈[-1,log₃(2)]

2)x²+x-1/x+7x²-7x+2/x-1≤8x+1
Решаем неравенство относительно х
x∈(-∞,-1] ∪ (0,1)

3)Находим пересечение

{x∈(-1,log₃(2)]
{x∈(-∞,-1] ∪ (-1)

x∈(0,log₃(2)] ∪ {-1}

artalex74_zn · Answer 1 · 2018-08-02T13:40:23+0000

Решаем первое неравенство системы:
Пусть $3^x = t$ . Тогда первое неравенство равносильно системе неравенств:
$\begin {cases} t\ \textgreater \ 0 \\ 3t+\frac{2}{t}-7 \leq 0 \end {cases}\ \ \textless \ =\ \textgreater \ \begin {cases} t\ \textgreater \ 0 \\ \frac{3t^2-7t+2}{t} \leq 0 \end {cases}\ =\ \textgreater \ 3t^2-7t+2 \leq 0\\ (3t-1)(t-2) \leq 0\ =\ \textgreater \ \frac{1}{3} \leq t \leq 2$
Вернемся к х: $\frac{1}{3} \leq 3^x \leq 2\ =\ \textgreater \ x \in [-1;\ log_32]$

Решаем второе неравенство системы:
$\frac{x(x+1)-1}{x} + \frac{7x(x-1)+2}{x-1} \leq 8x+1 \\ x+1- \frac{1}{x} +7x+ \frac{2}{x-1} \leq 8x+1 \\ (8x+1)+ \frac{2}{x-1}- \frac{1}{x} -(8x+1) \leq 0 \\ \frac{2}{x-1}- \frac{1}{x} \leq 0\\ \frac{2x-x+1}{x(x-1)} \leq 0\\ \frac{x+1}{x(x-1)} \leq 0$
- + - +
------|----o----o----> x => x ∈ (-∞; -1]∪(0; 1)
-1 0 1
Находим пересечение решений первого и второго неравенств, получим ответ: ${-1} \cup (0;\ \log_32]$

Ответ: ${-1} \cup (0;\ \log_32]$