«решите уравнение 4(sin^3 x -cos^3 x) = 1/sin x-1/cos x»

Question

«решите уравнение
4(sin^3 x -cos^3 x) = 1/sin x-1/cos x»

Answer 1

(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 - разность кубов
Левая часть: 4*(sinx - cosx)(sin^2(x) + sinx*cosx + cos^2(x)) = 4*(sinx - cosx)*(1 + sinx*cosx)
Правая часть: (cosx - sinx)/(sinx*cosx)
4*(sinx - cosx)*(1 + sinx*cosx)*sinx*cosx = cosx - sinx
разделим обе части на (cosx - sinx)
-4*(1 + sinx*cosx)*sinx*cosx = 1
-2*sin(2x)*(1 + sin(2x) / 2) = 1
-2sin(2x) - sin^2(2x) - 1 = 0
sin^2(2x) + 2sin(2x) + 1 = 0
Замена: sin(2x) = t, -1≤t≤1
t^2 + 2t + 1 = 0
D = 4 - 4 = 0
t = -1
Вернемся к замене: sin(2x) = -1
2x = 3π/2 + 2π*k
x = 3π/4 + π*k
ОДЗ: sinx ≠ 0, cosx ≠ 0
x ≠ πk, x ≠ π/2 + πk
Ответ: x = 3π/4 + π*k

Comments

Упущено решение под цифрой 1):
4*(sinx - cosx)*(1 + sinx*cosx)*sinx*cosx + (-cosx + sinx) = 0
(sinx - cosx)((4 + 4sinx*cosx)sinx*cosx + 1) = 0
1) sinx=cosx, tgx = 1, x = pi/4 + pi*k
2) 4*(1 + sinx*cosx)*sinx*cosx = -1
2*sin(2x)*(1 + sin(2x) / 2) = -1
sin^2(2x) + 2sin(2x) + 1 = 0
Замена: sin(2x) = t, -1≤t≤1
t^2 + 2t + 1 = 0
D = 4 - 4 = 0
t = -1
Вернемся к замене: sin(2x) = -1
2x = 3π/2 + 2π*k
x = 3π/4 + π*k