1) Воспользуемся тем что, остаток от деления числа на 3, равен остатку от деления суммы цифр этих чисел на 3.
Тогда 2015=3*671+1 ( остаток равен 1) , («/» значит сравнение по модулю)
2n+S(n) / 1 mod 3
Используя выше перечисленный факт, положим что n=3a+b , тогда S(n)=3x+b
Откуда 2n+S(n) = 6a+3x+3b / 1 mod 3 , но 6a+3x+3b всегда делится на 3 , значит таких чисел нет .
2) аналогично 2014=671*3+1 ( остаток равен 1)
n=3a+b , тогда 4n+S(n)=12a+4b+3x+b=3(4a+x)+5b / 1 mod 3
5b / 1 mod 3
Так как b=0,1,2 перебирая , получаем что при b=2 , 10 / 1 mod 3
Тогда 12a+3x+10=2014 Откуда 4a+x=668 , и так как n<=503 , откуда 3x+2<=(4+9+9) (499 как число с максимальной суммой цифр) <br>Откуда x<=6 перебирая , получаем что таких чисел нет. <br>3) 9*k*n+S(n) = 5005
Сравним по модулю 9 , так как 5005 = 556*9+1
Так как n двузначное , то
n=10a+b проставляя
9k*(10a+b)+(a+b)=5005
Или по остаткам
9kb+a+b / 1 mod 9
b(9k+1)+a / 1 mod 9
b+a / 1 mod 9
То есть , двузначное число n Такое , что сумма его стар делится на 9 с остатком 1 , значит a+b=10 , так как 19 не подходит , потому что n двузначное.
Значит n=9a+10
Откуда 9*k*(9a+10)+10=5005
a=(555-10k)/(9k)
555=5*3*37
Перебирая , подходит только k=15
a=3 , b=7
Ответ n=37 , k=15