Найти наименьшее значение функции
y =12x - ln(12x) + 4 x∈[1/24;5/24]
ОДЗ функции х >0
Решение
Найдем производную
y' = (12x - ln(12x) + 4)' = (12x)' -( ln(12x))' + (4)'= = 12 - (1/(12x))* (12x)' = 12 - (1/(12x))*12 = 12 - 1/x
Находим критические точки приравняв производную к нулю
y' = 0
12 - 1/x = 0
1/x = 12
x = 1/12
Точка x =1/12 принадлежит отрезку x∈[1/24;5/24]
Отображаем на числовой прямой точку х =1/12 и определим знаки производной по методу подстановки. Например при х = 1 y'(1) =12-1=11>0
- 0 +
-----------------------------!------------------
1/12
Функция убывает на интервале х∈(0;1/12)
Функция возрастает на интервале x∈(1/12;+∞)
В точке х =1/12 функция имеет минимум
y(1/12) = 12*(1/12) - ln(12/12) + 4 =1 - ln(1) + 4 = 5
Ответ: ymin =5 при х =1/12.
