Найти все значения а при каждом из которых система уравнений х4 - у4 = 12а - 28 , х*2 +...

Question 1

Найти все значения а при каждом из которых система уравнений х*4 - у*4 = 12а - 28 , х*2 + у* 2= а имеет ровно 4 решения»

Question 2

Решим систему уравнений аналитически.
$\displaystyle \left \{ {{x^4-y^4=12a-28} \atop {x^2+y^2=a}} \right. ~~\Rightarrow~~~ \left \{ {{(x^2+y^2)(x^2-y^2)=12a-28} \atop {x^2+y^2=a}} \right. \Rightarrow\\ \\ \\ \Rightarrow \left \{ {{a(x^2-y^2)=12a-28} \atop {x^2+y^2=a}} \right. ~~\Rightarrow~~ \left \{ {{x^2-y^2= \frac{12a-28}{a} } \atop {x^2+y^2=a}} \right.$

Сложим первое и второе уравнение, получим:

$x^2= \dfrac{a^2+12a-28}{2a}$ - существует, когда $\dfrac{a^2+12a-28}{2a} \ \textgreater \ 0$

Откуда получаем решение этого неравенства $a \in (-14;0)\cup(2;+\infty)$

$y^2=a-x^2= \dfrac{a^2-12a+28}{2a}$ - существует, когда $\dfrac{a^2-12a+28}{2a} \ \textgreater \ 0$

$a \in (0;6-2 \sqrt{2} )\cup(6+2 \sqrt{2} ;+\infty)$ - решение неравенства $\dfrac{a^2-12a+28}{2a} \ \textgreater \ 0$

Тем не менее из второго уравнения стоит заметить что $a\ \textgreater \ 0$ тогда пересечение этих решений неравенств, есть $a \in(2;6-2 \sqrt{2} )\cup(6+2 \sqrt{2} ;+\infty)$

Ответ: $a \in(2;6-2 \sqrt{2} )\cup(6+2 \sqrt{2} ;+\infty)$

LecToRJkeeeee_zn · Answer 1 · 2018-08-05T09:21:02+0000

Решим систему уравнений аналитически.
$\displaystyle \left \{ {{x^4-y^4=12a-28} \atop {x^2+y^2=a}} \right. ~~\Rightarrow~~~ \left \{ {{(x^2+y^2)(x^2-y^2)=12a-28} \atop {x^2+y^2=a}} \right. \Rightarrow\\ \\ \\ \Rightarrow \left \{ {{a(x^2-y^2)=12a-28} \atop {x^2+y^2=a}} \right. ~~\Rightarrow~~ \left \{ {{x^2-y^2= \frac{12a-28}{a} } \atop {x^2+y^2=a}} \right.$

Сложим первое и второе уравнение, получим:

$x^2= \dfrac{a^2+12a-28}{2a}$ - существует, когда $\dfrac{a^2+12a-28}{2a} \ \textgreater \ 0$

Откуда получаем решение этого неравенства $a \in (-14;0)\cup(2;+\infty)$

$y^2=a-x^2= \dfrac{a^2-12a+28}{2a}$ - существует, когда $\dfrac{a^2-12a+28}{2a} \ \textgreater \ 0$

$a \in (0;6-2 \sqrt{2} )\cup(6+2 \sqrt{2} ;+\infty)$ - решение неравенства $\dfrac{a^2-12a+28}{2a} \ \textgreater \ 0$

Тем не менее из второго уравнения стоит заметить что $a\ \textgreater \ 0$ тогда пересечение этих решений неравенств, есть $a \in(2;6-2 \sqrt{2} )\cup(6+2 \sqrt{2} ;+\infty)$

Ответ: $a \in(2;6-2 \sqrt{2} )\cup(6+2 \sqrt{2} ;+\infty)$