Дана функция у=2х³ + 3х² + 2.
Её производная равна:
y' = 6x² + 6x = 6x(x + 1).
Приравняв производную нулю, находим 2 критические точки:
х = 0 и х = -1.
Тем самым мы определили 3 промежутка монотонности функции:
(-∞; -1), (-1; 0) и (0; +∞).
Находим знаки производной на этих промежутках.
Где производная положительна -
функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит
смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус
- точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
x = -2
-1
-0,5
0 1
y' =
12
0 -1,5
0 12.
Как видим, максимум функции в точке х = -1, минимум в точке х = 0.
Найдём значения функции в этих точках и на границах заданного промежутка.
x = -2 -1
-0,5
0
y =
-2 3 2,5
2.
Ответ: наибольшее и наименьшее значение функции у=2х^3+3х^2+2 на отрезке [-2;0] равны 3 и -2.