Векторам базис не нужен, вектор – это что-то, существующее отдельно от базиса. Но когда идёт речь о координатах вектора, тогда уже понятие базиса существенно.
В физике любому перемещению можно поставить в соответствие вектор перемещения – вектор, соединяющий начало и конец перемещения. Для того, чтобы нарисовать такой вектор, координаты или базис не нужны: достаточно уметь соединять две точки. Даже складывать вектора можно без знания о каком-то "базисе": просто построй второй вектор из конца первого и проведи новый вектор из начала первого перемещения в новый конец.
Однако может возникнуть вопрос, как обозначить вектор так, чтобы потом по этой записи можно было восстановить сам вектор. Тут на помощь приходит идея: возьмём некий набор векторов 
и запишем вектор x в виде линейной комбинации этих векторов: 
. Тогда вместо того, чтобы рисовать вектор, можно просто записать числа α1, α2, ..., αn, и, зная набор векторов, по которому мы разложили вектор, этот вектор можно будет легко восстановить.
Остаётся только нужным образом выбрать вектора ei. Понятно, что их можно выбрать разными способами, но в любом случае хочется, чтобы: 1) любой вектор можно было разложить по этим векторам и 2) чтобы такое разложение было единственным. Если набор векторов удовлетворяет таким требованиям, его называют базисом.
Один из естественных способов выбрать базис в трёхмерном пространстве – это взять обычную декартову систему координат, направить вдоль осей единичные отрезки i, j, k и записывать координаты вектора в этом базисе: записи (a, b, c) соответствует вектор x = ai + bj + ck.
Этот же вектор можно записать и в другом базисе. Тогда координаты вектора вообще говоря будут другими. Но сам вектор от этого не поменяется.