СРОЧНО РЕШИТЬ ИНТЕГРАЛ И ПРОВЕРИТЬ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕМ!!!!

Введём замену:
$t=2x, dt=2dx$
Тогда интеграл примет табличный вид:
$\frac{1}{2} \int\ \frac{1}{ cos^{2}(t) } } \, dt = \frac{1}{2}tg(t)+C = \frac{1}{2}tg(2x)+C$
Продифференцируем:
$( \frac{1}{2}tg(2x))'= \frac{1}{2}( \frac{sin(2x)}{cos(2x)})'= \frac{1}{2}( \frac{2cos(2x)cos(2x)+2sin(2x)sin(2x)}{ cos^{2}(2x) })$
Упростим и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
$\frac{1}{2}( \frac{2( cos^{2}(2x)+ sin^{2}(2x)) }{ cos^{2}(2x) })= \frac{1}{ cos^{2}(2x) }$
Получили выражение, которое было под интегралом, значит, всё верно