Дана функция z=f(x;y). Показать, что она удовлетворяет данному уравнению.

Найдем первую и вторую частную производную по х (у-const).

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}= \frac{\partial(e^{3y}\cos x)}{\partial x}=-e^{3y} \sin x\\ \\ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}= \frac{\partial(-e^{3y}\sin x)}{\partial x} =-e^{3y}\cos x$

Найдем первую и вторую частную производную по y (x-const).

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}= \frac{\partial(e^{3y}\cos x)}{\partial y} =3e^{3y}\cos x\\ \\ \frac{\partial^2z}{\partial y^2}= \frac{\partial(3e^{3y}\cos x)}{\partial y} =9e^{3y}\cos x$

Подставив в условие, получим

$9\cdot \bigg(-e^{3y}\cos x\bigg)+9e^{3y}\cos x=0\\ \\ 0=0$

Что и требовалось показать )