1 решить методом подстановки, а 2 методом по частями

$1)\; \; \int x^2\cdot e^{x^3+1}\, dx=[\, t=x^3+1\; ,\; dt=3x^2\, dx\; ,\; x^2\, dx=\frac{dt}{3}\, ]=\\\\=\frac{1}{3}\int e^{t}\, dt=\frac{1}{3}\, e^{t}+C=\frac{1}{3}\cdot e^{x^3+1}+C\, ;$

$\int\limits^1_0\, x^2\cdot e^{x^3+1}\, dx=(\frac{1}{3}\cdot e^{x^3+1})\Big |_0^1= \frac{1}{3}\cdot (e^2-e^1)=\frac{1}{3}\cdot (e^2-e)\; .$

$2)\; \; \int (x+3)\cdot lnx\, dx=[\, u=lnx\; ,\; du=\frac{dx}{x},\; v=\int (x+3)dx=\\\\=\frac{(x+3)^2}{2}\, ]=\frac{(x+3)^2}{2}\cdot lnx-\int\frac{(x+3)^2\, dx}{2x}=\frac{(x+3)^2}{2}\cdot lnx-\\\\-\frac{1}{2}\int\frac{x^2+6x+9}{x}\, dx=\frac{(x+3)^2}{2}\cdot lnx-\frac{1}{2}\int (x+6+\frac{9}{x})dx=$

$=\frac{(x+3)^2}{2}\cdot lnx-\frac{1}{2}\cdot (\frac{x^2}{2}+6x+ln|x|)+C\, ;\\\\ \int\limits_1^3\, (x+3)\cdot lnx\, dx=\Big (\frac{(x+3)^2}{2}\cdot lnx-\frac{1}{2}\cdot (\frac{x^2}{2}+6x+ln|x|)\Big )\Big |_1^3=\\\\=18\,ln3-\frac{1}{2}\cdot (4,5+18+ln3)-8\, ln1-\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{2}+6+ln1)=\\\\=17,5\, ln3-14,5\, ;$

Во 2 примере нижний предел не может быть 0, т .к. ln0 не существует (ошибка или описка в условии). Поэтому нижний предел положила
равным 1.